應(yīng)用幾何變換解題的教學(xué)研究

應(yīng)用幾何變換解題的教學(xué)研究
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摘要：幾何變換則是從運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)來研究幾何圖形及其性質(zhì)，利用幾何變換解決平面幾何問題往往更直觀、更形象，且能多種角度培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。在初中階段，幾何變換與傳統(tǒng)幾何方法并重，更有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和敏捷性，如果再結(jié)合傳統(tǒng)演繹幾何的處理方法，則可以收到極好的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：幾何變換，運(yùn)動(dòng)，變化，平移，旋轉(zhuǎn)，軸對(duì)稱，位似，演繹推理

一、初中階段學(xué)習(xí)幾何變換的意義
新課程“空間與圖形”部分主要研究的是現(xiàn)實(shí)世界中的物體和幾何圖形的形狀、大小、位置關(guān)系及其變換.它在強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生推理論證能力的同時(shí)，更多地強(qiáng)調(diào)用直觀和非形式化的手段去認(rèn)識(shí)和描述生活空間，教學(xué)內(nèi)容緊密聯(lián)系學(xué)生生活和社會(huì)發(fā)展，使學(xué)生通過直接感受去理解和把握空間關(guān)系，并進(jìn)行交流.
當(dāng)不同層次的學(xué)生親自動(dòng)手操作實(shí)驗(yàn)(如畫圖、折紙)時(shí)，他們首先在直觀感知的基礎(chǔ)上認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)(中心對(duì)稱)、位似等變換，然后借助直觀的圖形變換探索出圖形的幾何性質(zhì)，使靜止的圖形在頭腦中動(dòng)起來，這樣的
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一個(gè)新的位置,從而把比較分散的已知條件集中到一起。當(dāng)題目中含有線段等量關(guān)系、平行四邊形等條件時(shí)，都可以考慮用平移的方法來處理。
例3 如圖4，在一條河的兩岸分別有A，B兩滴，現(xiàn)要設(shè)計(jì)一條道路，并在河上架子起垂直于河岸的一座橋，用來連結(jié)A、B兩地，問橋應(yīng)建在何處，請(qǐng)畫出你的設(shè)計(jì)圖。
分析: 此題要求A、B之間的最短路線，設(shè)橋?yàn)镃D，從A到B所走的路線是A-D-C-B，要使路線最短，只需AD+BC最短即可，此時(shí)AD、BC應(yīng)在同一平行方向上，可通過平移的知識(shí)，圖形變換的思想使問題得以解決。
解析 過A作河岸的垂線，使AA’等于河岸的距離，連結(jié)A’B與河岸交于C點(diǎn)，過C作另一岸的垂線，垂足為D點(diǎn)，則A-D-C-B就是所求的路線

圖4
例4 如圖5,四邊形ABCD中,AD∥BC,∠B與∠C互余,點(diǎn)M、N分別是AD、BC的中點(diǎn),試證明MN= (BC-AD ) 圖（5）
分析：線段MN、BC、AD比較分散,沒集中在一個(gè)三角形中,由于AD∥BC,所以可以添加輔助線，分別將兩腰AM、DM進(jìn)行平移，集中到同一個(gè)三角形再加以證明。 本題主要是利用平移的方法找到解題思路，化難為易。
解：過M分別作ME∥AB，MF∥DC交BC于點(diǎn)E,點(diǎn)F ， 則可證得平行四邊形AMEB和平行四邊形MDCF,∴AM=MD=BE=FC= AD, 得EF= BC-AD
又 得 =90°
∴MN= EF= (BC-AD )
教學(xué)探究：
（1）借助平移變換可將將角、線段移到適當(dāng)?shù)奈恢茫性谕粋�(gè)圖形中，使問題得以解決。但是為了方便演繹推理的書寫，輔助線的作法可借助平移變換的思想找到。
(2) 在利用平移變換解決問題時(shí)，要注意引導(dǎo)學(xué)生清晰地表述平移對(duì)象、平移方向、平移長度等，注重培養(yǎng)學(xué)生的圖形表達(dá)能力和符號(hào)表達(dá)能力.
2.2旋轉(zhuǎn)變換





在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)，沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做圖形的旋轉(zhuǎn)。圖形的旋轉(zhuǎn)具有如下特征：旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小； 經(jīng)過旋轉(zhuǎn), 圖形中每一點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心按同一旋轉(zhuǎn)方向旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等。
由于旋轉(zhuǎn)前后的圖形是全等圖形，因此可以利用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造全等圖形，從而解決線段相等或角度相等的問題. 當(dāng)圖形的背景有出現(xiàn)正邊形、正三角形、菱形、等腰三角形圓、正多邊形等時(shí)，都可以考慮使用旋轉(zhuǎn)變換.特別地，當(dāng)題目中出現(xiàn)中點(diǎn)、平行四邊形等條件時(shí)，還可以考慮使用中心對(duì)稱的方法。
例5 如圖6，已知：在四邊形ABCD中，∠MAN的兩邊分別交CB，DC于點(diǎn)M,N,且BM≠DM若四邊形ABCD是正方形，∠MAN=45°，求證：BM+DN=MN




分析: BM與DN這兩條線段比較分散，可通過
幾何變換構(gòu)造BM+DN的線段。考慮到正方形中
AD=AB及BM、DN的位置，想到了旋轉(zhuǎn)。將△ABM
繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到與其全等的△ADE,
成功構(gòu)造BM+DN=EN,再證明EN=MN 圖6
證明：將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，由于AD=AB，∴B與D重合，旋轉(zhuǎn)后得到△ADE，則△ABM≌△ADE，則BM=DE,由于 ，則E、D、N在同一直線上，所以BM+DN=EN，再證明△AMN≌△AEN可得EN=MN




例6 如圖7:在梯形ABCD中，AB∥CD,點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，DF⊥AF,
求證：DF平分∠ADC,AF平分∠DAB
分析:題目出現(xiàn)中點(diǎn)，且AB∥DC,可將△ABF繞F點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，
由于BF=FC,所以B與C重合，旋轉(zhuǎn)后得△EDF,即△ABF與△EDF 圖7
成中心對(duì)稱，則△ABF≌△EDF，由于 ，則點(diǎn)D、點(diǎn)C、點(diǎn)E在同一直線上，再證明△ADF≌△EDF即可證出結(jié)論。
教學(xué)探究：思考問題時(shí)可以利用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造全等圖形，集中問題的已知條件，從而解決線段相等或角度相等等問題。利用旋轉(zhuǎn)變換解題時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)規(guī)范表述，如強(qiáng)調(diào)旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向，交代對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后列出對(duì)應(yīng)的相等線段等.
2.3軸對(duì)稱變換（中心對(duì)稱）
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