教學(xué)反思：由一堂函數(shù)最值糾錯(cuò)課引發(fā)的思考

由一堂函數(shù)最值糾錯(cuò)課引發(fā)的思考
教學(xué)反思：由一堂函數(shù)最值糾錯(cuò)課引發(fā)的思考

我校是上海郊區(qū)的一所普通農(nóng)村中學(xué)。生源的入�；A(chǔ)如同職校的學(xué)生。長(zhǎng)期以來(lái)區(qū)統(tǒng)考的排名基本是墊底的，且與其他學(xué)校的差距很大。如此的教學(xué)環(huán)境，能否上好基礎(chǔ)課、打個(gè)翻身仗，一直是我實(shí)踐與思考的課題。其中，“數(shù)學(xué)糾錯(cuò)課”的實(shí)踐是較為成功的一條途徑。
我們都曾發(fā)出過(guò)這樣的感嘆：雖然我們費(fèi)力地在課堂上指出錯(cuò)在哪里，錯(cuò)的原因是什么，應(yīng)該怎樣糾錯(cuò)，但往往收效甚微。究其原因，那是因?yàn)榻處煵](méi)有讓學(xué)生積極地參與其中，沒(méi)有充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，沒(méi)能激發(fā)起他們的學(xué)習(xí)興趣。那么，什么是糾錯(cuò)？糾錯(cuò)是指針對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)薄弱環(huán)節(jié)，有針對(duì)性地通過(guò)典型習(xí)題，對(duì)學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤進(jìn)行剖析。它是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)不可缺失的重要環(huán)節(jié)。
教育家杜威認(rèn)為：“失敗是有指導(dǎo)性的，真正懂得思考的人，從失敗和成功中學(xué)的一樣多�！� 建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為：學(xué)生的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿、練習(xí)等被動(dòng)的吸收過(guò)程，而主要應(yīng)是學(xué)生依據(jù)已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行主動(dòng)的意義建構(gòu)。質(zhì)疑是創(chuàng)新的前奏，單純的記憶和模仿，不能培養(yǎng)創(chuàng)新型人才。如果教師總是略去艱苦探索的過(guò)程，把思維過(guò)程中完美的那一段呈現(xiàn)給學(xué)生，教師講得越多越細(xì)，學(xué)生的思考就越少，對(duì)教師的依賴性就越大。而一堂成功的糾錯(cuò)課是能夠激發(fā)學(xué)生的探究愿望
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。本例是分式型函數(shù)，該如何處理呢？說(shuō)說(shuō)你的解題思路。
（生三三兩兩討論，師巡視，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的解題思路主要有如下幾種）
生：先判別函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性求最值.
生：拆項(xiàng)法，拆成兩項(xiàng) 的和，再利用基本不等式求最值.
生：也可換元法，令 ，以便利用基本不等式，進(jìn)一步處理。
師：哇，一下子提出了這么多的方法，打開(kāi)了大家的思路，很好！那么這些思路是否有效呢？
（經(jīng)學(xué)生們熱議，很快否定了第一種思路。因?yàn)檫@個(gè)函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)。但利用第二種、第三種思路解題還是有一些如下差錯(cuò)。進(jìn)一步在師生互動(dòng)中予以糾正。）

生解:
.
生：肯定錯(cuò)了，最小值應(yīng)該是個(gè)最值，而上述結(jié)果是個(gè)變量，失敗的關(guān)鍵是拆成的兩個(gè)正項(xiàng)的積不是定值。
生：我想可以如下拆項(xiàng)求解：

.
師：是嗎？最小值會(huì)是2嗎？
生：（老師的反問(wèn)促使學(xué)生進(jìn)一步思考）有問(wèn)題，因?yàn)榇_定最小值為2的前提是 但是這個(gè)方程無(wú)解，所以我認(rèn)為本例無(wú)最小值。其實(shí)這個(gè)解法和我的代換法求解的實(shí)質(zhì)和步驟是一樣的。
師：先說(shuō)說(shuō)你是如何用代換法求解的？
生：設(shè) ，則 ，則 ，這里等號(hào)成立的前提是 但這個(gè)方程在無(wú)解 ，所以本例無(wú)最小值。
師：這只能說(shuō)明，利用基本不等式求本例最值是失敗的，但不等于本例無(wú)最小值，請(qǐng)大家再回到第一種思路，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，再試試看。
生：（很快地，跟著上個(gè)學(xué)生的解題思路） 是遞增函數(shù)。 .
師：經(jīng)過(guò)大家的共同努力，終于找到了一個(gè)完備的答案，在用基本不等式求最值時(shí)，必須注意“一正二定三相等”的法則，必須關(guān)注等號(hào)成立的前提，如果不能成立，可結(jié)合“耐克”函數(shù)的單調(diào)性處理。
題4：[放幻燈片] 若 ，且 ，求 的最小值.
(讓學(xué)生各自動(dòng)手做，師巡視，然后選擇較為代表性的二個(gè)錯(cuò)解，利用幻燈投影讓學(xué)生們討論糾錯(cuò).)
生解一：由題意， ，即
.

生解二：由題意，
故： .
師：這里的二個(gè)解答答案不同，至少一個(gè)有錯(cuò)，能否大家一起來(lái)找找原因呢？
生：解一的錯(cuò)是顯然的。 說(shuō)明 與 的和一定大于5，怎能由此推斷最小值是5呢？！這只能表明，如果有最小值，那么最小值必定大于5.
生：解二沒(méi)問(wèn)題，二次利用了基本不等式后得到 ，所以， 應(yīng)該沒(méi)問(wèn)題。（得到了多數(shù)同學(xué)的附和）
師：利用基本不等式求最值，應(yīng)該遵循一個(gè)什么法則？
生：“一正二定三相等�！�
生：我知道了，從 得到 ，還得補(bǔ)上理由，當(dāng)正數(shù) 、 滿足條件 且 ，即 時(shí)，等號(hào)能成立，這樣就沒(méi)有問(wèn)題了。
生：這也不正確，因?yàn)楸绢}求解共兩次用了基本不等式，第一次利用基本不等式得 也有“一正二定三相等”的要求，即當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)等號(hào)才成立。所以二次應(yīng)用基本不等式得到 ，前提應(yīng)該是兩個(gè)等號(hào)成立的 、 值應(yīng)該是相同的，而現(xiàn)在事實(shí)上不相等，所以答案 肯定是錯(cuò)誤的。
師：那么正確的結(jié)果是什么呢？一起再討論討論。重點(diǎn)看看條件 中有什么特殊的功能？
生：（三三兩兩商討著，終于有了希望）可以如下求解：
由題意得，
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 .
注意到 ，可得 時(shí)等號(hào)能成立， .
師：完全正確……。
同學(xué)們，通過(guò)對(duì)這些題糾錯(cuò)，我想你們一定有不少感想，大家一起說(shuō)一說(shuō)。
（最后師生一起歸納小結(jié)）：
（1）解題時(shí)一定要認(rèn)真審題，仔細(xì)思考。
（2）求函數(shù)最值常用的方法：
①對(duì)于二次函數(shù)，利用配方法求得拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)，此時(shí)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，即分別是取得函數(shù)最值時(shí) 的值及 的值。必須注意,二次函數(shù)中的二次項(xiàng)的系數(shù) 的符號(hào)。對(duì)于二次函數(shù)在指定區(qū)間上求最值，除了考慮上述外，還需要考慮頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否在指定區(qū)間內(nèi)，并根據(jù)不同情形求出相應(yīng)的最值。
②對(duì)于分式型函數(shù)，我們可嘗試構(gòu)造基本不等式，并利用基本不等式來(lái)求得最值。但必須重視，利用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，一定要遵循“一正二定三相等”的法則，尤其要注重等號(hào)成立的條件。
③對(duì)于一般的單調(diào)函數(shù)及其復(fù)合函數(shù)，我們可以綜合考慮它們的單調(diào)性,從而求得函數(shù)最值。 但需注意，指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與底數(shù) 的值有關(guān)，當(dāng) 時(shí)，是減函數(shù)。
（3）產(chǎn)生的錯(cuò)誤的原因可歸為下列幾種：① 概念理解不準(zhǔn)確；② 忽略公式定理?xiàng)l件的限制；③忽視存在的特例；④考慮情況不周全；⑤ 思維定勢(shì)的影響；⑥ 概念混淆不清；⑦ 運(yùn)算能力薄弱。
短短的45分鐘就在我和學(xué)生們互相補(bǔ)充中結(jié)束了……

課后反思：
整堂課基本上已做到學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，師生平等，教學(xué)相長(zhǎng)，促進(jìn)了師生間多向交流，共同營(yíng)造了寬松、愉快的民主氣氛，使學(xué)生釋放出巨大的創(chuàng)新潛能，達(dá)到了預(yù)期教學(xué)目的。作為設(shè)計(jì)者、 ……（未完，全文共7204字，當(dāng)前僅顯示2529字，請(qǐng)閱讀下面提示信息。收藏《教學(xué)反思：由一堂函數(shù)最值糾錯(cuò)課引發(fā)的思考》）