畢業(yè)論文：歐氏空間和辛空間的對(duì)比—關(guān)于特征值的對(duì)比

目錄/提綱：……
目錄一、歐氏空間與辛空間的基本概念5
二、線性變換及其矩陣10
三、線性變換及其矩陣的特征值與特征向量13
四、特殊矩陣的特征值與特征向量15
一、歐氏空間與辛空間的基本概念
二、線性變換及其矩陣
三、線性變換及其矩陣的特征值與特征向量
四、特殊矩陣的特征值與特征向量
……

歐氏空間和辛空間的對(duì)比
—關(guān)于特征值的對(duì)比


題： 歐氏空間和辛空間的對(duì)比
院 （系）： 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院
專 業(yè)： 信息與計(jì)算科學(xué)

摘要: 我們?cè)诰�性空間的基礎(chǔ)上,定義內(nèi)積了運(yùn)算,便有內(nèi)積空間(又稱歐氏空間)的概念。類似的，在線性空間的基礎(chǔ)上,定義外積運(yùn)算,就可以引進(jìn)辛空間的概念。雖然兩者是建立在同樣的基礎(chǔ)上,但定義上的差異產(chǎn)生的關(guān)于空間的基、對(duì)稱矩陣、特征值、正交等概念都不盡相同。本課題就是對(duì)歐氏空間和辛空間的一些基本概念和特征值進(jìn)行對(duì)比，特別是對(duì)于一些特殊矩陣，比如說(shuō)對(duì)稱矩陣、反對(duì)稱矩陣、正交矩陣、辛矩陣和哈密頓矩陣關(guān)于特征值的性質(zhì)進(jìn)行對(duì)比。

關(guān)鍵詞: 歐氏空間，辛空間，特征值


Abstract : On the basis of the linear space, defining of inner product operations, there will be the concept of an inner product space (also known as Euclidean space). Similarly, on the basis of the linear space, defining th
……（新文秘網(wǎng)http://120pk.cn省略873字，正式會(huì)員可完整閱讀）……　
換及矩陣 14
四、特殊矩陣的特征值與特征向量 15
4.1 一般矩陣特征值與特征向量的性質(zhì) 15
4.2對(duì)稱矩陣與反對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量 17
4.3 正交矩陣與辛矩陣的特征值 18
4.4對(duì)稱矩陣與哈密頓矩陣的特征值和特征向量 19
致謝語(yǔ) 19
參考文獻(xiàn)： 20


一、 歐氏空間與辛空間的基本概念


1.1線性空間

線性空間是線性代數(shù)中 維向量空間概念的抽象和推廣。為了便于理解這個(gè)抽象概念，我們先介紹 維向量空間中的向量在加法及數(shù)與向量的乘法方面的運(yùn)算性質(zhì)，然后再把具有相同運(yùn)算性質(zhì)的一切集合，抽象概括為線性空間。
在 維向量空間

中，向量 是有序組，且對(duì)向量的加法及數(shù)與向量乘法都是封閉的（指運(yùn)算結(jié)果都仍是 中的向量），且滿足如下 條性質(zhì)（設(shè) 都是 維向量， , 是常數(shù)）：
（1） (加法交換律)；
（2） （加法結(jié)合律）；
（3） （存在零向量0）；
（4） （存在負(fù)向量 ）；
（5） （數(shù)因子分配律）；
（6） = （分配律）；
（7） （數(shù)因子結(jié)合律）；
（8） ，
在數(shù)學(xué)、力學(xué)及其他學(xué)科中，有必要不考慮集合的具體內(nèi)容的涵義來(lái)研究這類集合的公共性質(zhì)，并把這類集合概括成一個(gè)數(shù)學(xué)名詞，于是有了如下的線性空間的概念。
定義1.1 設(shè) 是一個(gè)非空集合， 是一個(gè)數(shù)域。如果 滿足如下兩個(gè)條件：
1.在 中定義一個(gè)封閉的加法運(yùn)算，即當(dāng) , 時(shí)，有惟一的和 ，并且加法運(yùn)算滿足4條性質(zhì)：
（1） （交換律）；
（2） （結(jié)合律）；
（3）存在零元素 ，對(duì)于 中任何一個(gè)元素 都有 ；
（4）存在負(fù)元素，即對(duì)任一元素 ，存在有一元素 ，使 ，且稱 為 的負(fù)元素，記為 ，于是有 +( )=0。
2.在 中定義一個(gè)封閉的數(shù)乘運(yùn)算（數(shù)與元素的乘法），即當(dāng) ， 時(shí)，有惟一的 ，且數(shù)乘運(yùn)算滿足4條性質(zhì)：
（5） + （分配律）；
（6） + （數(shù)因子分配律）；
（7） （結(jié)合律）；
（8） 。
其中 , , 表示 中的任意元素； , 是數(shù)域 中任意數(shù)；1是數(shù)域 中的單位數(shù)。
這時(shí)，我們說(shuō) 是數(shù)域 上的線性空間。不管 的元素如何，當(dāng) 為實(shí)數(shù)域 時(shí)， 為實(shí)線性空間；當(dāng) 為復(fù)數(shù)域 時(shí)，稱 為復(fù)線性空間。這里研究的是實(shí)線性空間。
1.2內(nèi)積與歐氏空間
在線性空間中，向量之間的運(yùn)算只有加法和數(shù)乘，統(tǒng)稱為線性運(yùn)算。但是，如果以解析幾何中三維幾何空間 作為線性空間的一個(gè)模型，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)， 中諸如向量的長(zhǎng)度、兩個(gè)向量的夾角等度量概念在線性空間的理論中還未得到反映，而這些度量性質(zhì)在很多實(shí)際問(wèn)題（包括幾何問(wèn)題）中卻是很關(guān)鍵的。因此，有必要在一般的線性空間中引進(jìn)內(nèi)積運(yùn)算，從而導(dǎo)出內(nèi)積空間的概念。
在解析幾何中，向量的長(zhǎng)度與夾角等度量都可以通過(guò)數(shù)量積（又稱點(diǎn)積）來(lái)表達(dá)，假設(shè) 是 中過(guò)原點(diǎn)的兩個(gè)向量，則它們的數(shù)量積為
=
其中 是 與 的夾角， 分別是 的坐標(biāo)。
容易看出，式（1.1）定義的數(shù)量積具有如下的代數(shù)性質(zhì)：
（1）對(duì)稱性 ；
（2）可加性 ;
（3）齊次性 , 為任意實(shí)數(shù)；
（4）非負(fù)性 ；當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)， 。
有了數(shù)量積的概念，向量長(zhǎng)度和夾角就可以表示為
，
。
可見(jiàn)數(shù)量積的概念蘊(yùn)含著長(zhǎng)度和夾角的概念，因此，為了給抽象的線性空間引進(jìn)長(zhǎng)度、夾角等度量，我們可先以數(shù)量積所具備的4條代數(shù)性質(zhì)為依據(jù)，在抽象的線性空間中引入與數(shù)量積相類似的概念，這就是內(nèi)積的概念，并把定義了內(nèi)積的線性空間叫做內(nèi)積空間。
定義1.2 設(shè) 是實(shí)數(shù)域 上的線性空間，對(duì)于 中任意兩個(gè)向量 ，如果能給定某種規(guī)則使 和 對(duì)應(yīng)著一個(gè)實(shí)數(shù)，記為 并且滿足以下條件：
（1） ；
（2） ；
（3） , ；
（4） ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)， 。
則稱該實(shí)數(shù) 是向量 與 的內(nèi)積。
如此定義了內(nèi)積的實(shí)線性空間 叫做歐幾里得（Euclid）空間，簡(jiǎn)稱歐氏空間（或?qū)崈?nèi)積空間）。
由上面的定義我們可以知道，歐氏空間與實(shí)線性空間的差別在于歐氏空間比實(shí)線性空間多定義了內(nèi)積，或者說(shuō)歐氏空間是一個(gè)特殊的實(shí)線性空間。
1.3外積與辛空間
我們?cè)诰�性空間加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算的基礎(chǔ)上，定義內(nèi)積運(yùn)算便有了歐氏空間的概念。同樣的，在線性空間的基礎(chǔ)上，定義所謂的“反對(duì)稱純量積”運(yùn)算，就可以引進(jìn)辛空間的概念。我們先介紹反對(duì)稱的雙 ……（未完，全文共8975字，當(dāng)前僅顯示2451字，請(qǐng)閱讀下面提示信息。收藏《畢業(yè)論文：歐氏空間和辛空間的對(duì)比—關(guān)于特征值的對(duì)比》）