論文：引力模型的數(shù)學證明

論文：引力模型的數(shù)學證明

摘要：大多數(shù)國際貿易理論只能定性解釋貿易與其他經濟變量的關系。在定量成果研究中，引力模型是一個重要工具。但一般認為引力模型缺乏理論依據(jù)。本文以勞動分工為出發(fā)點，以總產出的”增加值”統(tǒng)計方法為依據(jù)，從數(shù)學上證明了引力模型的存在。證明過程顯示出引力模型反映的是生產與流通這兩個基本環(huán)節(jié)的數(shù)量關系，這種關系在國際貿易和國內貿易中同樣適用。
關鍵詞：貿易，引力模型，數(shù)學證明，
A Mathematical Derivation Of The Gravity Equation
Abstract: Popular theories concerning international trades can give only qualitative e*planation. In the quantitative research literatures, the gravity equation is an important approach. But the theoretical foundation of the equation is uncertain. Based on a new recognition of labor divi
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Evans 2003, Baltagi and Pfaffermayr 2003, Egger and Pfaffermayr 2003)。不過這些修改后的模型已經不再具有引力模型的形式。
一些學者認為，像比較成本論、資源稟賦論、規(guī)模經濟論等應該是引力模型的理論基礎 (Evenett and Keller 2002, McPherson and Redfearn 2001, Tiiu Paas and Egle Tafenau 2005)。但他們從這些理論并不能定量得到一個確定的引力模型 (Tiiu Paas and Egle Tafenau 2005)。換言之，引力模型的理論基礎問題并沒有真正解決。
本文以勞動分工為出發(fā)點，以總產出的增加值計算規(guī)則為依據(jù)，發(fā)現(xiàn)產量與流通量之間存在確定的數(shù)量關系。一個區(qū)域的產量通常以國內生產總值（GDP）表示，該區(qū)域與其他區(qū)域之間的流通量通常以貿易額表示。從事經濟活動的勞動者具有一定的空間分布，流通是勞動者分工合作以及實現(xiàn)生產和消費的必要過程。以商品的移動成本表示勞動者之間的距離，并運用一定的假設將問題簡化后可以證明，任何兩個經濟之間的流通量與二者之間的經濟距離的平方成反比，與二者的經濟總量的乘積成正比。也就是說，用引力模型來表達生產量與流通量的一般關系，有著確切的理論依據(jù)。
本文不僅從理論上確定了生產與流通的數(shù)量關系，使引力模型中變量的實際意義更為明確，更重要的是，本文所展示的分析方法對于相關理論研究很有啟示意義。
2. 貿易――價值實現(xiàn)的必要環(huán)節(jié)
現(xiàn)代社會生產的一個重要特征是勞動分工。任何一個經濟的產出都是由大量的勞動者通過分工協(xié)作完成的。
假設一個經濟中含有N個勞動者，每個勞動者的產出量為q ，則該經濟的總產出為：
Q = Nq (2)
現(xiàn)實當中，每個勞動者的產出量一般并不相同，這里我們采用平均產出，即q可以視為是一個“代表性”勞動者的產出。
注意到所有的勞動者不可能在同一地點從事生產和消費活動，每個勞動者處在不同的地理位置。因此，流通實際上就是把需要交換的產品移動到需要它的地方并完成交換的整個貿易過程。因此，流通是實現(xiàn)市場交換的必要條件。通常我們把企業(yè)之間或者企業(yè)與消費者之間的交易視為“流通”，是因為這些活動的交易額便于分別計算；我們不把企業(yè)內部的物品從一個車間移動到另一個車間視為“流通”，是因為這些活動不便于分別計算，并且通常都計算到生產成本中去了。
根據(jù)國內生產總值（GDP）的統(tǒng)計規(guī)則，不參與市場交易的產品或勞動是不被計入GDP的。也就是說，如果沒有流通，就沒有市場交換，也就沒有GDP。比如說，盡管人人都在勞動，并且有產品生產出來，但如果沒有流通和交換，每個勞動者的產品都在原地不動，按照GDP的統(tǒng)計規(guī)則，經濟系統(tǒng)的總產出為零。
現(xiàn)在我們根據(jù)GDP的“增加值”統(tǒng)計方法來考察流通與產出的數(shù)量關系。
在（2）式所給出的生產情況下，當沒有貿易發(fā)生時，經濟系統(tǒng)的產出額為0。
當有一定數(shù)量的產品 為了交換而從勞動者B 移動至勞動者A時，假設運送費率為f，則我們可觀察到一個產出增加值：
（3）
不論是誰完成了產品的運送，這個貢獻值必是勞動者A的產出q 中的一部分。
比如， 當運送是由A完成的，則f就是A對產出增加值的貢獻；當運送是由他人完成的，則A必須從自己的勞動產品增加值中支付相等的數(shù)量，否則就不能實現(xiàn)等價交換。
此外，我們不必追究所運送商品的全部價值，因為GDP的統(tǒng)計只需觀察經濟活動對產出貢獻的增加值。
3. 平方反比律
現(xiàn)在來考察距離為r的兩個勞動者A與B之間的貿易。.
讓我們畫一個半徑為r的圓環(huán)，如圖1所示， 勞動者A位于圓心，勞動者B位于環(huán)上。
每個所考察的勞動者和“代表性”的勞動者完全一樣。即他們的產出相同，產品也相同，誰都不比他人更具有特權。
由于圓環(huán)上所有勞動者（包括B）與A的距離都相同，所以他們與A的貿易額也應該都相同，記為。
假設勞動者是均勻連續(xù)分布的，注意到環(huán)上每個勞動者所占的面積為，則他們與A之間的貿易額之和為
（4）
令環(huán)的寬度為一個勞動者所占的寬度，即 ……（未完，全文共6857字，當前僅顯示2408字，請閱讀下面提示信息。收藏《論文：引力模型的數(shù)學證明》）