論文：證券收益率的極大線性無關(guān)組及兩基金分離定理

論文：證券收益率的極大線性無關(guān)組及兩基金分離定理

摘要：本文在無套利假設(shè)下，采用了無套利均衡分析方法及證券收益率極大線性無關(guān)組的表示方法進(jìn)一步研究了當(dāng)種風(fēng)險資產(chǎn)協(xié)方差矩陣是奇異時的證券投資組合問題（包括不含有無風(fēng)險資產(chǎn)與含有無風(fēng)險資產(chǎn)兩種情形），在均值-方差模型的框架下得到有效邊界一些本質(zhì)特征，并證明了此時的兩基金分離定理仍然成立的，最后利用這些結(jié)果給出了有效的、操作性強(qiáng)的投資策略。
關(guān)鍵詞：奇異協(xié)方差矩陣；有效組合邊界；兩基金分離定理；極大線性無關(guān)組
中圖分類號： F224 ; 029; 文章標(biāo)識碼：A

一. 引言
1952年，Markowitz H投資組合選擇理論[1]奠定了現(xiàn)代資產(chǎn)組合投資理論的基礎(chǔ)，帶動了金融市場理論的創(chuàng)新，并被譽(yù)為金融領(lǐng)域的一場革命。在Markowitz H的投資組合理論中有一個非常著名的定理兩基金分離定理：
設(shè)為有效邊界上任意兩個給定不等期望收益率所對應(yīng)的有效投資組合，則有效邊界的任意一個投資組合，必存在實(shí)數(shù)和，滿足，使得。
由兩基金分離定理知，共同基金公司可選擇適當(dāng)?shù)馁Y產(chǎn)組合構(gòu)成兩個有效資產(chǎn)組合套餐，投資者只需根據(jù)他們的偏好按不同的比例投資在共同基金套餐就可達(dá)到其想要有效投資組合，而不需去挑選每種風(fēng)險資產(chǎn)進(jìn)
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兩基金分離定理成立。（2）種風(fēng)險資產(chǎn)與無風(fēng)險資產(chǎn)的投資組合只需用種風(fēng)險資產(chǎn)中的一極大無關(guān)組種風(fēng)險資產(chǎn)與無風(fēng)險資產(chǎn)生成其有效邊界，且此時兩基金分離定理成立。其中為種風(fēng)險資產(chǎn)一極大線性無關(guān)組含資產(chǎn)的個數(shù)。最后并利用這些結(jié)果給出了有效的、操作性強(qiáng)的投資策略。

二. 符號與概念
設(shè)種風(fēng)險資產(chǎn)的收益率為（為隨機(jī)變量組），為投資在種風(fēng)險資產(chǎn)上的比例向量即投資組合，、分別為這種風(fēng)險資產(chǎn)組合收益率的期望、方差，記表示無風(fēng)險資產(chǎn)的收益率，即無風(fēng)險利率，為了表達(dá)方便，我們可用其收益率代表某種資產(chǎn)本身，如可代表第種風(fēng)險資產(chǎn)，代表無風(fēng)險資產(chǎn)，下同。
注：本文同一符號無特別聲明前后表示同一個意思。
假設(shè)市場是沒有套利機(jī)會的，先引入前沿邊界與有效邊界的概念。
定義1：各種期望收益水平下風(fēng)險（標(biāo)準(zhǔn)差）最小的組合被稱為前沿組合，所有的前沿組合組成的在坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的集合是投資機(jī)會的前沿邊界。
定義2：各種風(fēng)險水平（標(biāo)準(zhǔn)差）下期望收益最大的組合被稱為有效組合，所有的有效組合組成在坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的集合稱為有效邊界。
如文[6]類似線性代數(shù)，下面引入隨機(jī)變量的線性相關(guān)、線性無關(guān)與極大線性無關(guān)組等概念。設(shè)為任意的隨機(jī)變量組。
若存在不全為零的實(shí)數(shù)使得為常數(shù)，則是線性相關(guān)的，否則是線性無關(guān)的；若存在實(shí)數(shù)使得，則稱可由線性表出；的一個部分組稱為一個極大（線性）無關(guān)組，若是線性無關(guān)的，且每個可由線性表出。引入符號如下定義：，表示由收益率（隨機(jī)變量組）組合成的所有可能收益率空間，記，，其中為種風(fēng)險資產(chǎn)的收益率。
注：當(dāng)時，可看成，因?yàn)樗鼈儚母怕蕼y度來說是一樣的。
由文[6]中的引理1和引理2知是奇異等價于線性相關(guān)的，且任意隨機(jī)變量組都存在極大線性無關(guān)組，說明這樣定義的合理性，從而可以把線性代數(shù)的方法應(yīng)用到這里來。

三. 預(yù)備結(jié)論
引理1： 任意收益率組，若都有，，則必有。
證明：對，則存在，使得，又，故存在，使得 ，從而 ，且系數(shù)和為： ，故，所以有。證畢。
顯然還有如下引理2成立。
引理2：若，則收益率為與收益率為的兩組證券組合有相同的有效邊界和前沿邊界。
當(dāng)協(xié)方差是奇異時，對種風(fēng)險資產(chǎn)的收益率有如下定理1成立。
定理1：設(shè)為的一極大線性無關(guān)組，則要么有；要么有，且當(dāng)時，存在第種風(fēng)險資產(chǎn)，使得。
證明：為了研究方便，不妨設(shè)為（），下同。由極大無關(guān)組的定義知可由線性表出，即，使得，令，則，從而為無風(fēng)險資產(chǎn)，又的投資比例總和為，所以相當(dāng)于倍無風(fēng)險資產(chǎn)投資，由無套利假設(shè)有，從而，顯然系數(shù)和為1，故 ，顯然當(dāng) ，時也有，由引理1有。
情形1.：若對所有都有,即，則有 ，且，從而 ，由引理1有。另一方面，顯然有。故此時。
情形2：若 不全為零，不妨設(shè)。由前面知： ，從而。令 ，，則，且。從而，由引理1知，又前面已證，所以有。定理證畢。
若還引入無風(fēng)險資產(chǎn)，則有如下定理2成立。
定理2：當(dāng)是奇異時，設(shè)為的一個極大線性無關(guān)組，則有。
證明：由定理1知要么等于，要么等于。
當(dāng)時，即，顯然也有，即。
當(dāng)時，即，顯然也有即。證畢。

四. 兩基金分離定理及其證明
由定理1知，當(dāng)是奇異時，種風(fēng)險資產(chǎn)只需要用其中一極大無關(guān)組種或再加上其中某一種即種風(fēng)險資產(chǎn)即可生成其有效邊界，其余的風(fēng)險資產(chǎn)可以不需考慮，我們還可以進(jìn)一步證明此時的兩基金分離定理是成立的。
定理3（兩基金分離定理）：當(dāng)是奇異時，種風(fēng)險資產(chǎn)只需要用其中一極大無關(guān)組種或再加上一種即種風(fēng)險資產(chǎn)生成其有效邊界，且此時的兩基金分離定理成立。
證明：由定理1知要么等于，要么等于。
對于情形1，即時，由引理2知只需要用其中一極大無關(guān)組種風(fēng)險資產(chǎn)（其協(xié)方差矩陣為非奇異）生成其有效邊界，其余的風(fēng)險資產(chǎn)不需考慮，此時相當(dāng)于非奇異協(xié)方差矩陣的種風(fēng)險資產(chǎn)的有效邊界，顯然兩基金分離定理成立，詳細(xì)參見文獻(xiàn)[8-9]。
對于情形2，即當(dāng)時，由引理2知只需要用其中一極大無關(guān)組種再加上其中某一種即可生成其有效邊界，我們不妨設(shè)是前種風(fēng)險資產(chǎn)，且其中為極大無關(guān)組。由知，求風(fēng)險資產(chǎn)的有效邊界相當(dāng)于求極大無關(guān)組與無風(fēng)險資的有效邊界，即求解如下每個給定期望收益下，方差的最小值問題（1）：
（1）
其中分別為的期望向量和協(xié)方差矩陣，，由于線性無關(guān)，所以是非奇異的，利用lagrangian方法，易得最優(yōu)解為：
（2）
現(xiàn)在求以上最優(yōu)解對應(yīng)的投資在的一個最優(yōu)（有效）投資比例組 ……（未完，全文共6954字，當(dāng)前僅顯示2441字，請閱讀下面提示信息。收藏《論文：證券收益率的極大線性無關(guān)組及兩基金分離定理》）