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論文:模糊不確定性對二叉樹期權(quán)定價(jià)的影響

發(fā)表時(shí)間:2015/5/2 9:22:55

論文:模糊不確定性對二叉樹期權(quán)定價(jià)的影響

摘要:Co*等(1979)首先給出精確二叉樹期權(quán)定價(jià)模型。但考慮到金融市場的復(fù)雜性和人類的模糊性思維習(xí)慣,實(shí)際的決策問題常常帶有模糊性,因此本文運(yùn)用模糊集合論討論期權(quán)定價(jià),給出期權(quán)價(jià)格的上限和下限,進(jìn)而得到模糊期權(quán)價(jià)格。這樣投資者可以把實(shí)際的價(jià)格和自己的模糊價(jià)格相比較,從而決定是否進(jìn)入市場或進(jìn)入多/空頭。
關(guān)鍵詞:二叉樹模型;模糊期權(quán)定價(jià);模糊集合論
中圖分類號:F830

0 引言
期權(quán)作為一種重要的衍生產(chǎn)品一直受到關(guān)注。Co*,Ross和Rubinstein(1979)首先給出二叉樹期權(quán)定價(jià)模型,盡管此模型所涉及的數(shù)學(xué)不深,但模型隱含的經(jīng)濟(jì)意義卻十分重要,因而成為衍生產(chǎn)品定價(jià)的基本方法之一。
Co*等假設(shè)下一期股票價(jià)格只存在兩種運(yùn)動方式:上升到或下降到某一精確點(diǎn),然后應(yīng)用無套利定價(jià)方法給出期權(quán)的價(jià)格。但實(shí)際中,我們經(jīng)常聽到的是“股票價(jià)格將上升或下降*%左右”,即由于模糊不確定性(或稱為Knight不確定性)的存在,實(shí)際的金融市場只被定義為“熊市”或“牛市”,下一期股票的具體價(jià)格并沒給定一個精確值。這樣單純的概率論方法無法解決這種類型的不確定性,因此我們應(yīng)用模糊集合論來解決這種模糊不確定性
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范圍。當(dāng)模糊不確定性為時(shí),我們有。
結(jié)論1。是單調(diào)減函數(shù),是單調(diào)增函數(shù)。且,當(dāng)(即沒有模糊不確定性)時(shí),==。
因此稱和分別為模糊不確定性為的上升下限、上升上限,或悲觀上升率、樂觀上升率。其實(shí)區(qū)間[,]就是模糊數(shù)的截集。當(dāng)投資者的模糊不確定性小于時(shí),對應(yīng)的上升比例就是這個區(qū)間里的某個值。并且區(qū)間[,]長度隨的減小而縮小,當(dāng)時(shí),有唯一的上升率,回到經(jīng)典的定價(jià)方法。
對于的模糊程度,也可以給出關(guān)于的類似的模糊隸屬度,以及和。為計(jì)算簡單,我們采用一般的取值辦法: ,,稱和分別為模糊不確定性為的下降上限、下降下限,或樂觀下降率、觀悲觀下降率。當(dāng)投資者的模糊不確定性小于時(shí),對應(yīng)的下降比例就是區(qū)間[,]里的某個值。
結(jié)論2。根據(jù)我們的取值,有,。

圖1 和的模糊數(shù)
根據(jù)無套利定價(jià)方法,股票價(jià)格上升和下降的權(quán)重應(yīng)該滿足

因此,。
結(jié)論3。1),;
2)當(dāng)時(shí),是的單調(diào)減函數(shù),進(jìn)而是單調(diào)增函數(shù);當(dāng)時(shí),是的單調(diào)減函數(shù),進(jìn)而是單調(diào)減函數(shù)。
1.1 三角模糊數(shù)單期二叉樹看漲期權(quán)定價(jià)模型:
根據(jù)無套利定價(jià)方法,兩種權(quán)重時(shí)的單期看漲期權(quán)的價(jià)格分別為,
,
其中和,。為敲定價(jià)格。
取,
結(jié)論4。當(dāng)時(shí),是的單調(diào)增函數(shù),進(jìn)而是的單調(diào)減函數(shù);是的單調(diào)增函數(shù),進(jìn)而是單調(diào)增函數(shù)。這時(shí),故,。
稱和分別為模糊不確定性為的看漲期權(quán)下限、上限。下限、上限構(gòu)成價(jià)格區(qū)間[,],當(dāng)模糊不確定性小于時(shí),看漲期權(quán)的價(jià)格就應(yīng)該是這個區(qū)間里的某個值。
不同于經(jīng)典模型的唯一價(jià)格,我們得到一個價(jià)格區(qū)間。不同投資者可以把實(shí)際的價(jià)格和自己的模糊價(jià)格相比較,從而決定是否進(jìn)入市場或進(jìn)入多/空頭。類似于統(tǒng)計(jì)學(xué)中的區(qū)間估計(jì),我們實(shí)際給出了不確定性為的期權(quán)價(jià)格置信區(qū)間。
結(jié)論5。當(dāng)時(shí),,即模糊不確定性減小時(shí),區(qū)間[,]的長度隨之減小,當(dāng)時(shí),==。
結(jié)論6。以上定價(jià)方法形成的期權(quán)價(jià)格可以表示為模糊集。
證明:當(dāng)把看成自變量是的映射,則是一個集合套,根據(jù)模糊表現(xiàn)定理,就是一個模糊集。
這樣,我們稱由以上定價(jià)方法形成的期權(quán)價(jià)格為模糊期權(quán)價(jià)格。
1.2 三角模糊數(shù)期二叉樹期權(quán)定價(jià)模型:
根據(jù)無套利定價(jià)方法,兩種權(quán)重時(shí)的期看漲期權(quán)的價(jià)格分別為,


如果取,,則


(設(shè),顯然 )
其中


其中,(顯然)。
取,
類似于前面單期時(shí)的分析,我們得到一個期權(quán)價(jià)格區(qū)間[,]。不同投資者可以把實(shí)際的價(jià)格和自己的模糊價(jià)格相比較,從而決定自己的投資策略。
對T期,從數(shù)值分析也有,當(dāng)時(shí),,即模糊不確定性減小時(shí),區(qū)間[,]的長度隨之減小,當(dāng)時(shí),==。這樣,由模糊表現(xiàn)定理,這時(shí)的也是一個模糊集。因此T期期權(quán)價(jià)格同樣為模糊期權(quán)價(jià)格。
2 數(shù)值分析
考慮一支6個月有效期的歐式看漲期權(quán),股票現(xiàn)價(jià)為42,期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為40,無風(fēng)險(xiǎn)利率為每年10%,波動率為每年20%。根據(jù)Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式得到歐式看漲期權(quán)的價(jià)格為4.76。([7]中例10.6)
單期:把6個月看成一期,因此,半年的無風(fēng)險(xiǎn)利率為5%。取, 三角模糊數(shù)下單期的和如圖2。


圖2 單期模糊期權(quán)價(jià)格

圖3 多期模糊期權(quán)價(jià)格
多期:把每個月看成一期。因此,每月的無風(fēng)險(xiǎn)利率為0.8333%。取,三角模糊數(shù)下多期的和如圖3。
從圖2、圖3我們看到,模糊期權(quán)隨代表模糊性的參數(shù)的變化情況。各曲線的上半部分可以作為多頭買價(jià),下半部分為空頭賣價(jià)。依據(jù)圖形,投資者可以決定買進(jìn)還是賣出。
3模糊期權(quán)的經(jīng)濟(jì)意義分析
金融市場的復(fù)雜性和人類思維的模糊性,使得以精確化的方法得到的精確定價(jià)模型與實(shí)際產(chǎn)生了偏離,導(dǎo)致了各種“迷”的出現(xiàn)。本文運(yùn)用模糊集合論分析期權(quán)的價(jià)格。
鑒于人們的模糊思維習(xí)慣,投資者對股價(jià)上升或下降的比例存在一定的模糊性,就形成了期權(quán)價(jià)格的上限和下限,根據(jù)模糊集合論,我們得到了模糊期權(quán)價(jià)格。期權(quán)價(jià)格模糊區(qū)間的上限和下限分別為期權(quán)買賣雙方的保留價(jià)格,即期權(quán)買方愿意買入的最高價(jià)格為期權(quán)價(jià)格上限;而期權(quán)賣方愿意賣出的最低價(jià)格為期權(quán)價(jià)格下限。當(dāng)投資者的預(yù)期與市場一致時(shí),他不會進(jìn)入市場交易,處于觀望期;當(dāng)投資者的預(yù)期大于市場價(jià)格時(shí),他認(rèn)為市場被低估,于是進(jìn)入交易空方;相反,當(dāng)投資者的預(yù)期低于市場價(jià)格時(shí),他認(rèn)為市場被高估,于是進(jìn)入交易多方。當(dāng)多空雙方力量基本一致時(shí),實(shí)際價(jià)格有 ……(未完,全文共4681字,當(dāng)前僅顯示2364字,請閱讀下面提示信息。收藏《論文:模糊不確定性對二叉樹期權(quán)定價(jià)的影響》
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